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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 75

75- Seja f x = m x + b n , onde m e b são constantes e n é um número inteiro. Use o resultado do Exercício 52 na seção 2.2 para provar que f ´ x = n m m x + b n - 1

Passo 1

Galerinha, nesse exercício nós temos que usar a regra da cadeia, pois temo uma composição de funções:

g x = u = m x + b

h x = u n

Que tal agora lembrarmos como derivar uma composição de funções pela regra da cadeia ?

Se g for derivável em x e f for derivável em g ( x ) , então a função composta F = f o g definida por F x = f ( g x ) é derivável em x e F ´ é dada pelo produto

F ´ x = f ´ ( g x ) × g ´ ( x )

Passo 2

Acho que agora estamos devidamente preparados para resolver esse exercício, né ???

Derivando g ( x ) :

g ´ x = m

Derivando h x :

h ´ u = n u n - 1

Substituindo u por m x + b :

h ´ x = n m x + b n - 1

Passo 3

Dessa forma,

f ´ x = h ´ g x × g ´ ( x )

f ´ x = m n m x + b n - 1

Resposta

Demonstração acima.

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