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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 7

Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) da função f em a . Trace f e T 3 na mesma tela.

f x = ln ⁡ x ,                     a = 1

Passo 1

Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor, precisamos saber qual a série dessa função, então vamos meter a mão na massa. Lembrando que o formato da série de Taylor é

∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

Para isso vamos derivar algumas vezes e substituir em x = 1 que é nosso centro

f = ln ⁡ x ⇒ f 1 = 0

f ' = 1 x ⇒ f ' 1 = 1

f ' ' = - 1 x 2 ⇒ f ' ' 1 = - 1

f ' ' ' = 2 x 3 ⇒ f ' ' ' 1 = 2

f ( 4 ) = - 2 ⋅ 3 x 4 ⇒ f 4 ( 1 ) = - 3 !

Eae, conseguiu ver o padrão? Primeira coisa, podemos ver que temos uma série alternada, então nosso padrão vai começar assim

f n 1 = - 1 n + 1

Outra coisa que podemos perceber é que temos um fatorial que acompanha o valor de n , mas ele só começa na primeira derivada então

f n 1 = - 1 n + 1 n - 1 ! , ∀ n ≥ 1

Como o nosso primeiro termo que seria a própria função em 1 é 0 , podemos apenar ignorá-lo e começar a série do índice n = 1 .

E assim temos nosso termo geral e nossa série é

f = ln ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 ! n ! x - 1 n

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 ! n n - 1 ! x - 1 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n x - 1 n

Passo 2

Para calcular T 3 , basta que achemos os primeiros termos da série e pararmos em n = 3 , então

T 3 x = x - 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 3

Passo 3

Traçando a função e T 3 no plano

Resposta

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