Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 6
Use a definição da série de Taylor para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série para centrada no valor dado de .
Passo 1
Faaala pessoal, tudo bem? Vamos começar.
O enunciado nos pede para usar a definição da série de Taylor para encontrar os quatro primeiros termos não nulo da função centrada em .
Como iniciamos?
Vamos lembrar da definição da série de Taylor:
Agora nosso objetivo é aplicar as condições dadas nessa equação.
Observe que queremos os quatro primeiros termos, logo vamos expandir até . Então teremos que derivar três vezes a função .
Com essas informações, quero que você calcule as derivadas primeiro e depois aplique o valor de nas derivadas.
Vamos iniciar!!
Passo 2
Nosso objetivo e avaliar a centrado em .
Com o auxílio da equação apresentada no passo , temos que a série de Taylor será dada por:
Agora precisamos calcular as derivadas de e aplicar o valor para , conforme temos na expressão acima.
Passo 3
Para ficar organizado, vamos apresentar em uma tabela.
Na primeira coluna temos que representa os 4 primeiros termos da série, na segunda coluna as derivas, e por fim, na última coluna a aplicação em .
Para as derivadas, pegamos a seguinte expressão:
Para facilitar a derivada vamos reescrever da seguinte forma:
Assim podemos aplicar a regra da cadeia:
Derivando conforme a ordem , temos:
Esse mesmo processo, você aplica para todas as ordens de derivação .
Achando cada derivada, você deve fazer .
Vamos aplicar para os dois termos que encontramos acima como exemplo:
Fazendo as etapas acima para todos os termos, conseguimos montar a seguinte tabela:
Passo 4
Agora vamos substituir os valores da tabela na série de Taylor que encontramos no passo 2. Nessa série:
Substituindo os valores de da tabela, vamos ter:
Agora resolvendo o fatorial, vamos ter:
Logo, os quatro primeiros termos da série de Taylor vai ser: