Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 15
Encontre a série de Maclaurin para usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que possui uma expansão em série de potências. Não mostre que Encontre também o raio de convergência associado.
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo na paz?
Esse exercício pede a série de Maclaurin para a função:
Relembrando a série de Maclaurin: nada mais é que a série de Taylor com e é desse formato:
Quando temos que encontrar nosso termo geral para a série de Maclaurin o que precisamos calcular é:
que são as derivadas de no ponto zero vezes. Encontrando esse termo, nós substituímos em e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.
A questão também pede para acharmos o raio de convergência , que tem relação com os valores de para os quais a série de Maclaurin vai convergir. Dos métodos que usamos para achar a convergência de uma série, o mais indicado para nós quando temos séries de Maclaurin é o Teste da Razão, já que ele simplifica bastante análise de séries com termos fatoriais.
- Teste da Razão: Calculamos o limite:
Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para ).
Bora lá!
Passo 2
Vamos achar nosso termo:
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir
Função original e seu valor em zero.
Primeira derivada e seu valor em zero.
Segunda derivada e seu valor em zero.
Terceira derivada e seu valor em zero.
Quarta derivada e seu valor em zero.
Passo 3
Agora vamos tentar achar um padrão no formato dos termos para escrevermos a derivada enésima da função:
Olhando o resultado das derivadas em zero, vemos que é sempre uma potência de base e o expoente é sempre igual ao valor de , então o termo geral é:
Agora vamos colocar na definição da série de Maclaurin:
Então a série de Maclaurin para a função é:
Passo 4
Vamos procurar a convergência de:
Temos:
E fazendo :
Calculamos o limite, multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda (divisão de frações):
Abrindo as somas no expoente com a propriedade: e abrindo também os termos fatoriais:
Simplificando os termos:
Calculando o limite:
Passo 5
Nosso limite é . O teste da razão diz que para que a série seja convergente . Então aqui vamos precisar que
e isso é verdade para qualquer valor de .
Como não temos nenhuma restrição para o valor de na nossa série, seu raio de convergência é: