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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 33

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.

33.   l i m y   →   0 y   -   t g - 1   y y 3

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo bem? Que ótimo, vem comigo para mais uma questão!

A ideia nessa questão é expressar y   -   t g - 1   y y 3 como uma série de potência e, depois disso, aplicar o limite. Então, vamos começar com a série do arcotangente, que já é conhecida (dá uma olhadinha na tabela 10.1):

  t g - 1   y = y - y 3 3 + y 5 5 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n y 2 n + 1 2 n   +   1 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Com base a série do passo anterior, vamos calcular

y - t g - 1   y = y - y - y 3 3 + y 5 5 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n y 2 n + 1 2 n   +   1 +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ y - t g - 1   y = y 3 3 - y 5 5 +   ⋅ ⋅ ⋅   - ( - 1 ) n y 2 n + 1 2 n   +   1 +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ y - t g - 1   y = y 3 3 - y 5 5 +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n + 1 y 2 n + 1 2 n   +   1 +   ⋅ ⋅ ⋅

Por último, dividimos tudo por y 3 :

y   -   t g - 1   y y 3 = 1 3 - y 2 5 +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n + 1 y 2 n - 2 2 n   +   1 +   ⋅ ⋅ ⋅

Pronto, já temos a série da função que foi pedida, só falta calcular o limite. Se liga aí no próximo passo.

Passo 3

Aplicando o limite na série que nós calculamos no passo anterior, ficamos com

l i m y   →   0 y   -   t g - 1   y y 3 = l i m y   →   0 1 3 - y 2 5 +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n + 1 y 2 n - 2 2 n   +   1 +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m y   →   0 y   -   t g - 1   y y 3 = 1 3 - l i m y   →   0 y 2 5 +   ⋅ ⋅ ⋅   + l i m y   →   0 ( - 1 ) n + 1 y 2 n - 2 2 n   +   1 +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m y   →   0 y   -   t g - 1   y y 3 = 1 3

Prontinho, temos o limite! Eu vou ficando por aqui, te vejo na próxima!

Resposta

l i m y   →   0 y   -   t g - 1   y y 3 = 1 3

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