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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 49

Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.

49. x 3 - x 5 + x 7 - x 9 + x 11 -   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem? Que ótimo, vem comigo para mais uma questão!

Nessa questão, precisamos identificar a série do enunciado de acordo com as que estão na tabela 10.1 e, com isso, calcular a soma da série. A série que melhor se aproxima da que foi dada no enunciado é a de 1 1   +   x :

1 1   +   x = 1 - x + x 2 -   ⋯   + ( - 1 ) n x n +   ⋯   = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n ,   | x | < 1

Mas essa ainda não é a série que queremos.

Passo 2

Agora, vamos substituir x por x 2 na série do passo anterior:

1 1   +   x 2 = 1 - x 2 + x 4 -   ⋯   + ( - 1 ) n x 2 n +   ⋯   = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n ,   | x | < 1

⇒ 1 1   +   x 2 = 1 - x 2 + x 4 -   ⋯   + ( - 1 ) n x 2 n +   ⋯   = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n ,   | x | < 1

Estamos quase lá, mas alguns termos ainda não estão correspondentes. Agora, vamos multiplicar tudo isso por x 3 :

x 3 1   +   x 2 = x 3 - x 5 + x 7 -   ⋯   + ( - 1 ) n x 2 n + 3 +   ⋯   = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 3

Com isso, conseguimos mostrar que a soma da série do enunciado é x 3 1   +   x 2 . Muito legal, né?

Resposta

x 3 1   +   x 2

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