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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 74

Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.

Passo 1

∂ ∂ x 2 z 3 - 3 x 2 z - 3 y 2 z = ∂ ∂ x 2 z 3 - ∂ ∂ x 3 x 2 z - ∂ ∂ x 3 y 2 z = 0 - 6 z x - 0 = - 6 z x ∂ ∂ y 2 z 3 - 3 x 2 z - 3 y 2 z = ∂ ∂ y 2 z 3 - ∂ ∂ y 3 x 2 z - ∂ ∂ y 3 y 2 z = 0 - 0 - 6 z y = - 6 z y ∂ ∂ z 2 z 3 - 3 x 2 z - 3 y 2 z = ∂ ∂ z 2 z 3 - ∂ ∂ z 3 x 2 z - ∂ ∂ z 3 y 2 z = 6 z 2 - 3 x 2 - 3 y 2

Passo 2

∂ 2 ∂ x 2 2 z 3 - 3 x 2 z - 3 y 2 z = ∂ ∂ x ( - 6 z x ) = - 6 z ∂ 2 ∂ y 2 2 z 3 - 3 x 2 z - 3 y 2 z = ∂ ∂ y ( - 6 z y ) = - 6 z ∂ 2 ∂ z 2 2 z 3 - 3 x 2 z - 3 y 2 z = ∂ ∂ z 6 z 2 - 3 x 2 - 3 y 2 = 12 z

Passo 3

Calcule o Laplaciano e verifique se ele é igual a 0.

∇ 2 f =   - 6 z - 6 z + 12 z = 0

Satisfeito!!!!

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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