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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 79

Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.

Passo 1

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 x ) = - x x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 y ) = - y x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 z ) = - z x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x - x x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 = - x - 3 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 ( 2 x ) + x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( - 1 ) = 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 - x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 3 x 2 - x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 2 x 2 - y 2 - z 2

Passo 2

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y - y x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 = - y - 3 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 ( 2 y ) + x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( - 1 ) = 3 y 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 - x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 3 y 2 - x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 2 y 2 - x 2 - z 2 ∂ 2 f ∂ z 2 = ∂ ∂ z ∂ f ∂ z = ∂ ∂ z - z x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 = - z - 3 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 ( 2 z ) + x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( - 1 ) = 3 z 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 - x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 3 z 2 - x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 2 z 2 - x 2 - y 2

Passo 3

Calcule o Laplaciano e verifique se ele é igual a 0.

∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2

= x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 2 x 2 - y 2 - z 2 + x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 2 y 2 - x 2 - z 2 + x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 2 z 2 - x 2 - y 2

= x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 2 x 2 - y 2 - z 2 + 2 y 2 - x 2 - z 2 + 2 z 2 - x 2 - y 2

= x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 0

= 0

Verificado.

Resposta

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