Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace. Passo 1 ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 x ) = - x x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 y ) = - y x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( 2 z ) = - z x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x - x x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 = - x - 3 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 ( 2 x ) + x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( - 1 ) = 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 - x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 3 x 2 - x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 2 x 2 - y 2 - z 2 Passo 2 ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y - y x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 = - y - 3 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 ( 2 y ) + x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( - 1 ) = 3 y 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 - x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 3 y 2 - x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 2 y 2 - x 2 - z 2 ∂ 2 f ∂ z 2 = ∂ ∂ z ∂ f ∂ z = ∂ ∂ z - z x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 = - z - 3 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 ( 2 z ) + x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 ( - 1 ) = 3 z 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 - x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 3 z 2 - x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 / 2 2 z 2 - x 2 - y 2 Passo 3Calcule o Laplaciano e verifique se ele é igual a 0. ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 2 x 2 - y 2 - z 2 + x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 2 y 2 - x 2 - z 2 + x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 2 z 2 - x 2 - y 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 2 x 2 - y 2 - z 2 + 2 y 2 - x 2 - z 2 + 2 z 2 - x 2 - y 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 0 = 0 Verificado. RespostaVer o desenvolvimento. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios de Livros RelacionadosNos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂yƒ(x, y) = (x + y) / (xy - 1)ƒNos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂yf(x, y) = 1 / (x + y)ƒNos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂yƒ(x, y) = sen^2(x - 3y)ƒNos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂yƒ(x, y) = cos²(3x - y²)ƒNos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂yƒ (x , y) = sum_(n = 0)^(oo) (x y)^n (|x y|1)ƒVer TambémVer tudo sobre Funções de Várias VariáveisLista de exercícios de Derivadas ParciaisVer exercício 14.3 - 38Ver exercício 14.3 - 74