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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.10 - Ex. 11

Suponha que a equação g ( x , y , z ) = 0 determina z como função derivável das variáveis independentes x e y e que g z ≠ 0 . Mostre que

∂ z ∂ y x = - ∂ g / ∂ y ∂ g / ∂ z .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, iremos supor que g ( x , y , z ) = 0 define a variável z como uma função diferenciável independente das variáveis x e y e que g z ≠ 0 . Mostraremos, então que

∂ z ∂ y x = - ∂ g / ∂ y ∂ g / ∂ z . 

Passo 2

Seja x e y independentes, então g ( x , y , z ) = 0 terá a seguinte derivada, observe:

∂ g ∂ x ∂ x ∂ y + ∂ g ∂ y ∂ y ∂ y + ∂ g ∂ z ∂ z ∂ y = 0

Temos, também, que:

∂ x ∂ y = 0

E a derivada se reduz da seguinte maneira:

∂ g ∂ y + ∂ g ∂ z ∂ z ∂ y = 0

Portanto, ∂ z ∂ y x valerá:

∂ z ∂ y x = - ∂ g / ∂ y ∂ g / ∂ z

Resposta

Resposta nos passos.

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