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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 80

Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.

Passo 1

Primeiro calcularemos as derivadas parciais.

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z = cos ⁡ 5 z ⋅ e 3 x + 4 y ⋅ 3 = 3 e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z = cos ⁡ 5 z ⋅ e 3 x + 4 y ⋅ 4 = 4 e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z ∂ f ∂ z = ∂ ∂ z e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z = e 3 x + 4 y - sin ⁡ 5 z ⋅ 5 = - 5 e 3 x + 4 y sin ⁡ 5 z = 3 cos ⁡ 5 z ⋅ e 3 x + 4 y ⋅ 3 = 9 e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = 3 e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z ∂ x 2

Passo 2

= ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

= ∂ ∂ y 4 e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z

= 4 cos ⁡ 5 z ∙ e 3 x + 4 y 4

= 16 e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z

= ∂ ∂ z ∂ f ∂ z

= ∂ ∂ z - 5 e 3 x + 4 y sin ⁡ 5 z

= - 5 e 3 x + 4 y ∙ cos ⁡ 5 z ∙ 5

= - 25 e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z  

Passo 3

Calcule o Laplaciano e verifique se ele é igual a 0.

∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2

= 9 e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z + 16 e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z + - 25 e 3 x + 4 y cos ⁡ 5 z

= 0

Provado

Resposta

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