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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 54

Encontre três números positivos cuja soma seja 3 e cujo produto seja um máximo.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, encontraremos três números cuja soma vale 9 e o produto é o máximo. Vamos ver como isso é possivel?

Passo 2

Seja p ( x , y , z ) = x y z , de tal forma que x + y + z = 3 . Assim, reescrevendo a função x + y + z = 3 , temos:

z = 3 - x - y

Agora, substituindo em p ( x , y , z ) = x y z , chegamos a:

p ( x , y ) = x y ( 3 - x - y ) p ( x , y ) = 3 x y - x 2 y - x y 2

As derivadas parciais da função são:

p x ( x , y ) = 3 y - 2 x y - y 2 = 0 p y ( x , y ) = 3 x - x 2 - 2 x y = 0

Veja que os pontos possíveis para resolução do sistema são: ( 0,0 ) , ( 0,3 ) , ( 3,0 ) , ( 1,1 )

Passo 3

Para ( 0,0 ) , temos:

z = 3

E as segundas derivadas valem:

p x x ( 0,0 ) = 0 p y y ( 0,0 ) = 0 p x y ( 0,0 ) = 3

Fazendo o teste, temos:

p x x p y y - p x y 2 = - 9 < 0

Resposta: Temos um ponto de sela em ( 0,0 )

Passo 4

Para ( 0,3 ) temos:

z = 0

E as segundas derivadas valem:

p x x ( 3,0 ) = - 6 p y y ( 3,0 ) = 0 p x y ( 3,0 ) = - 3

Fazendo o teste temos:

p x x p y y - p x y 2 = - 9 < 0

Então, temos um ponto de sela em ( 0,3 ) .

Passo 5

Já para ( 3,0 ) , temos:

z = 0

E as segundas derivadas valem:

p x x ( 3,0 ) = 0 p y y ( 3,0 ) = - 6 p x y ( 3,0 ) = - 3

Fazendo o teste. temos:

p x x p y y - p x y 2 = - 9 < 0

Assim, temos um ponto de sela em ( 3,0 ) .

Passo 6

Agora, para (1,1), temos:

z = 1

E as segundas derivadas valem:

p x x ( 1,1 ) = - 2 p y y ( 1,1 ) = - 2 p x y ( 1,1 ) = - 1

Fazendo o teste, temos:

p x x p y y - p x y 2 = 3 > 0 p x x < 0

Desse modo, temos um local máximo em ( 1,1 ) . Seu valor é p ( 1,1 , 1 ) = 1 .

Resposta

Resposta nos passos.

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