Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 10.2 - Ex. 17
Encontre os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva.
Passo 1
Falaee, beleza?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações de uma curva parametrizada:
Lembrando que a parametrização de uma curva é um processo usado para representar pontos na curva em termos de um ou mais parâmetros.
Queremos encontrar os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Mas quando uma reta é tangente horizontal e vertical??
Bom... sabemos a reta tangente é horizontal é obtida quando:
E a reta tangente vertical é obtida quando:
Então, vamos achar essas derivadas, igualar a zero para encontrar os valores de em que isso ocorre e depois substituir na parametrização da curva ( e ) para encontrar os pontos correspondentes!!
Passo 2
Vamos começar por quando a reta tangente é horizontal.
Vamos lembrar da equação de :
Derivando em função de , temos:
Igualando a derivada a zero:
Agora vamos isolar o :
Passo 3
Substituindo na parametrização da curva, temos que em :
E, em :
Logo, descobrimos o ponto:
Substituindo na parametrização da curva, temos que em :
E, em :
Logo descobrimos o ponto:
Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos
Passo 4
Agora vamos descobrir quando a reta tangente é vertical.
Derivando em função de , temos:
Igualando a zero:
Logo, só existe uma opção de :
Passo 5
Substituindo na parametrização da curva, temos:
E, para :
Portanto, a reta tangente é vertical no ponto
Passo 6
Bom, plotando a curva e marcando os pontos encontrados, temos:
Perceba que esses pontos correspondem a retas tangentes na horizontal e vertical, veja:
Resposta
A reta tangente é horizontal nos pontos
E vertical no ponto