Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva.

x = t^3 - 3t, y = t^2 - 3

Passo 1

Fala aí pessoal. Tranquilo? Vamos entender um pouquinho sobre o que a questão nos pede? 😊

Se liga! Temos que encontrar os pontos onde a curva tangente é vertical ou horizontal. Como vamos fazer isso?

  1. Vamos derivar as funções em relação a t
  2. Vamos igualar a derivada a zero e encontrar o valor de t
  3. Vamos substituir o valor de t que encontramos nas equações originais para obter as coordenadas dos pontos na curva.
  4. E para finalizar, utilizaremos um software para plotar o gráfico.

Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função, y = t 2 - 3 , em relação a t

d t 2 - 3 d t = 2 t

E

2 t = 0

t = 0

Encontramos então, t = 0 para o ponto vertical.

Passo 3

E derivando a função x = t 3 - 3 t , ficamos com:

d t 3 - 3 t d t = 3 t 2 - 3

Igualando a zero

3 t 2 - 3 = 0

Simplificando função

3 t 2 - 1 = 0

3 t + 1 t - 1 = 0

Para o ponto horizontal encontramos t = - 1 ou t = 1 .

Passo 4

Perceba que encontramos três valores para t , agora vamos encontrar pontos substituindo nas equações de x e y   .

Para t = 0

x = t 3 - 3 t

x = 0 3 - 3 ∙ 0

x = 0

y = t 2 - 3

y = 0 2 - 3

y = - 3

Sendo assim, o ponto vertical será:

x , y = 0 , - 3

Passo 5

Para t = - 1

x = t 3 - 3 t

x = ( - 1 ) 3 - 3 ∙ ( - 1 )

x = - 1 + 3

x = 2

y = ( - 1 ) 2 - 3

y = 1 - 3

y = - 2

Sendo assim, o ponto horizontal será:

x , y = 2 , - 2

Passo 6

Para t = - 1

x = t 3 - 3 t

x = 1 3 - 3 ∙ 1

x = 1 - 3

x = - 2

y = 1 2 - 3

y = 1 - 3

y = - 2

Sendo assim, o segundo ponto horizontal será:

x , y = - 2 , - 2

Passo 7

A curva tem uma horizontal tangente em ( 0 ,   - 3 )   e tangentes verticais em ( 2 ,   -   2 ) e ( - 2 ,   - 2 ) .

E a curva fica da seguinte maneira:

Resposta

A curva tem uma horizontal tangente em ( 0 ,   - 3 )   e tangentes verticais em ( 2 ,   -   2 ) e ( - 2 ,   - 2 ) .

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