Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d²y / d²x nesse ponto.

4. x = cos(t), y = raiz(3) * cos(t), t = 2 * pi / 3

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questãozinha de curvas paramétricas, não é? Bora lá!

Para resolver essa questão, temos que calcular a reta tangente à curva, no ponto dado e também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto. Então, o raciocínio é o seguinte: começamos identificando o ponto, depois calculamos o coeficiente angular da reta usando a fórmula

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

e calculamos d 2 y / d x 2 usando a fórmula

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t .

Nos vemos nos próximos passos.

Passo 2

Em t = 2 π / 3 , nós temos o ponto

x = c o s   t = c o s   2 π 3 = - 1 2

e

y =   3   c o s   t =   3   c o s   2 π 3 = - 3 2  

Ou seja, vamos calcular tudo no ponto ( x , y ) = ( - 1 2 , - 3 2 ) .

Passo 3

Nesse passo, vamos calcular a reta tangente à curva. Para isso, vamos calcular as derivadas que são necessárias:

d x d t = - s e n   t

d y d t = - 3   s e n   t

Com essas informações, conseguimos o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = - 3   s e n   t -   s e n   t = 3

Antes de calcular a reta tangente, vamos usar y ' para calcular

d y ' d t = 0

Isso quer dizer que

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t = 0 - s e n   t = 0

Como obtemos um valor constante de d 2 y d x 2 , então no ponto t = 2 π / 3 continuamos tendo d 2 y d x 2 = 0 .

Passo 4

Nesse passo, vamos calcular a reta tangente à curva no ponto ( - 1 2 , - 3 2 ) . Para isso, precisamos do coeficiente angular, que é constante e igual a 3 :

y + 3 2 = 3 ⋅ ( x + 1 2 )

⇒ y + 3 2 = 3 2 + 3 x

⇒ y = 3 x + 3

Isso é tudo, galera. Nos vemos na próxima!

Resposta

y = 3 x + 3

d 2 y d x 2 = 0

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