Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva.

x = t 3 - 3 t ,   y = t 3 - 3 t 2

Passo 1

Olá, meu querido e amado aluno.

A gente tem a curva parametrizada dada pelas equações:

x = t 3 - 3 t ,   y = t 3 - 3 t 2

A gente precisa então encontrar em quais pontos dessa curva parametrizada, a tangente a essa curva é horizontal ou vertical.

Para encontrarmos o que precisamos, deveremos derivar a equação e encontramos o coeficiente angular da reta tangente. Ele é encontrado com essa derivada:

d y d x = d y d t d x d t

E após encontrarmos esse coeficiente, deveremos fazer o seguinte:

Para que as tangentes sejam horizontais, deveremos ter que:

d y d x = 0

E para que as tangentes sejam verticais, deveremos ter que:

d x d t = 0

Isso mesmo, quando d y d x for indefinido por conta do zero no denominador.

Passo 2

Primeiro, temos que derivar as funções.

Derivando a função y = t 3 - 3 t 2 :

d y d t = 3 t 2 - 6 t = 3 t ( t - 2 )

Então

d y d t = 0

Se t = 0 ou t = 2 .

Assim, temos que os pontos são:

x , y = 0,0   ; ( ( 2 , - 4 )

Passo 3

E derivando x = t 3 - 3 t 2 :

d x d t = 3 t 2 - 3 = 3 ( t + 1 ) ( t - 1 )

E

d x d t = 0

Se t = - 1   o u   1 .

Isso implica que os pontos são:

x , y = 2 , - 4   o u   ( - 2 , - 2 )

Passo 4

A curva possui tangentes horizontais em ( 0.0 ) e ( 2 , - 4 ) e tangentes verticais em ( 2 , - 4 ) e ( - 2 , - 2 ) .

E o gráfico fica da seguinte maneira:

A gente fez o gráfico no Desmos, mas você pode criar ele também no GeoGebra.

Resposta

A curva possui tangentes horizontais em ( 0.0 ) e ( 2 , - 4 ) e tangentes verticais em ( 2 , - 4 ) e ( - 2 , - 2 ) .

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