Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 63
Encontre os pontos nas curvas dadas onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Passo 1
Fala aí pessoal. Tranquilo? Vamos entender um pouquinho sobre o que a questão nos pede? 😊
Para uma reta tangente ser vertical ou horizontal, a derivada das funções de e em relação a deve ser igual a zero. Vamos seguir os passos.
- Colocar as equações em coordenadas cartesianas e derivar as funções em relação a .
- Vamos igualar a derivada a zero e encontrar o valor de .
- Vamos substituir o valor de que encontramos nas equações originais para obter as coordenadas dos pontos na curva.
Vamos começar!
Passo 2
Certo, para encontrarmos os pontos onde há retas tangentes horizontais e verticais, usamos as coordenadas cartesianas e as suas relações com as coordenadas polares:
E substituímos :
Passo 3
Ao fazermos as derivadas em relação a , para as equações que encontramos, podemos igualar o resultado a zero para obter a coordenada das retas tangentes, depois basta substituirmos na equação de dada no enunciado para encontrarmos a outra coordenada. Fazendo a derivada de primeiro temos:
Usando a relação trigonométrica:
Ficamos com:
Passo 4
Utilizamos a equação e analisamos em duas partes.
A primeira será:
será:
E a segunda parte:
Temos então quatro valores de , e
Passo 5
Com os valores de substituímos cada resultado na equação de , ficamos com:
E as coordenadas das retas verticais serão:
Passo 6
Para as horizontais a gente deriva a equação de em relação a e igualamos a zero:
Abrindo o produto:
Usando a relação:
Ficamos com:
Reescrevendo:
Passo 7
Utilizamos a equação e analisamos em duas partes.
A primeira será:
será:
Na segunda parte
será:
vai ter os seguintes valores:
Passo 8
Substituindo os valores de na equação de :
E as coordenadas dos pontos em que as retas tangentes são horizontais são: