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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 29

Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre os vértices e os focos.

29. y 2 + 2 y = 4 x 2 + 3

Passo 1

Nessa questão, nos foi dada a equação de uma figura cônica, para identificarmos, encontrarmos seus vértices e focos.

Bom, a equação que ganhamos foi

y 2 + 2 y = 4 x 2 + 3

repare que temos x e y elevados ao quadrado, então temos uma equação de elipse ou hipérbole, descobriremos qual das duas é pelo sinal entre eles.

Vamos aqui completarmos o quadrado como uma estratégia para encontrarmos a equação característica da elipse ou da hipérbole.

Passo 2

Vamos ajeitar a equação para deixar mais parecida com alguma equação conhecida, vamos agrupar os termos de x e os termos de y :

y 2 + 2 y = 4 x 2 + 3

Somando e subtraindo 1 - 1 para que possamos ter o produto notável:

y 2 + 2 y + 1 - 1 - 4 x 2 = 3

y + 1 2 - 4 x 2 = + 3 + 1

y + 1 2 - 4 x 2 = 4

Veja que o sinal entre os termos é negativo, então temos uma hipérbole, mas ainda precisamos dividir ambos os lados por 4 :

y + 1 2 4 - x 2 1 = 1

Passo 3

A equação geral de uma hipérbole com centro fora da origem é

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 b 2 = 1

a nossa é

y + 1 2 4 - x 2 1 = 1

percebemos que x 0 = 0   e     y 0 = - 1 .

Os vértices de uma hipérbole com centro fora da origem podem ser descritos como

V = x 0 , y 0 ± a

então nossos vértices são V = ( 0 , - 1 ± 2 ) :

V 1 = 0 , - 3       e         V 2 = ( 0,1 )

Agora os focos de uma hipérbole são dados por

f = ( x 0 , y 0 ± a 2 + b 2 )

Então

f = ( 0 , - 1 ± 5 )

Resposta

Hipérbole

V 1 = 0 , - 3       e         V 2 = ( 0,1 )

f = ( 0 , - 1 ± 5 )

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