Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 6
6- Seja f: R R derivável até segunda ordem e tal que para todo , Prove que existe uma constante tal que
Para todo em . Conclua que existe uma outra constante tal que, para todo em ,.
Passo 1
E aí, galera! 😊 tudo em cima?
Nesse problema temos que dada uma função em que podemos provar que
Parece dificil? 😬
Passo 2
Galera, pela questão 5 nóxxx provamos que é constante.
Então vamos aproveitar essa deixa e tomar o A como:
Assim,
Observe que nós usamos a regra do quociente para derivar. Lembra dela? Ela tem o formato:
Onde e são funções de . Voltando à nossa expressão de cima, nós podemos agora escrever os produtos dessas funções aplicando a distributiva e dando uma arrumada:
Agora, vamos substituir por e usar a identidade trigonométrica :
Então, de fato nós verificamos que . Dessa forma, existe uma constante que atende a condição imposta pelo problema.
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Usando agora a nossa proposição e integrando dos dois lados, nós temos:
Onde é uma constante. Passando o para o outro lado multiplicando, temos:
Isolando , ficamos com:
Como queríamos demonstrar.
Até a próxima, pessoal! 😉
