Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 24
Use a informação do Exercício 16 para estimar com precisão de cinco casas decimais.
Passo 1
Faala, pessoal!
Nessa questão a gente precisa estimar o valor de , usando a informação do exercício 16.
Nele, nós encontramos o polinômio de Taylor de grau 4 de em torno de :
Então o que vamos fazer é aplicar esse polinômio no valor de que queremos calcular. Mas tem um detalhe importante: nós precisamos transformar esse de graus pra radianos antes de aplicar o !!
Pra confirmar se essa estimativa tem precisão de cinco casas decimais, podemos usar a desigualdade de Taylor.
Ela diz que se :
Como nossa função é , todas suas derivadas são senos e cossenos (positivos ou negativos), então sempre tem módulo menor ou igual a !! Ou seja, vamos aplicar a desigualdade de Taylor usando , , , e o é o em radianos!
Parece muita coisa, mas vamos com calma que vai sair!
Passo 2
Para converter para radianos, vamos fazer a famosa regra de três:
Ou seja,
Passo 3
Substituindo no polinômio
Essa conta não vai dar pra gente fazer na mão, então vou usar uma calculadora...
Passo 4
Por último, vamos achar o erro, usando a desigualdade de Taylor.
Para o nosso caso específico, ela fica assim:
Como :
Calculando isso, chegamos em:
Ou seja, garantimos que essa estimativa tem uma precisão não só de cinco, como de seis casas decimais (é a quantidade de zeros depois da vírgula no erro)!