Um carro está se movendo com velocidade de e aceleração de em um dado instante. Usando um polinômio de Taylor de grau , estime a distância que o carro percorre no próximo segundo. Seria razoável utilizar esse polinômio para estimar a distância percorrida durante o próximo minuto?

Como estamos trabalhando com distância e tempo, podemos reescrever nossa equação de Taylor da seguinte forma:

Repare que só substitui:

Agora você já percebeu né, que essas derivadas da posição são exatamente:

O resto vou deixar com você!!! É só substituir na função acima, e lembre-se que já temos os valores de .

Feito isso, você terá uma função da distância em função do tempo. Ai é só aplicar no tempo de conforme solicitado no enunciado.

Bora lá iniciar!!!

Na nossa analise, chegamos a conclusão que o polinômio de grau dois de Taylor é:

E também modelamos nosso problema da seguinte forma:

Assumindo que o instante inicial começa em e essa posição é a inicial , e também que estamos modelando a função em relação a posição de tempo . Logo, nosso valor de é centrado em: .

Do enunciado concluímos que:

Sabemos que existe uma relação através de derivadas entre posição, velocidade e aceleração. Assim:

E como estamos interessados em avaliar a posição, vamos alterar a nomenclatura do polinômio de Taylor para:

Fazendo isso ficamos com:

E aplicando as relações que valamos acima, essa expressão se reduz a:

Como a velocidade está em e a aceleração em o tempo tem que estar em segundos.

Agora que temos o polinômio, após um segundo, sua posição é

Como a posição inicial é , a distancia percorrida foi aproximadamente .

Com relação a outra pergunta, se seria razoável utilizar esse polinômio para estimar a distância percorrida durante o próximo minuto.

A resposta é que não, não seria muito efetivo. Porque o ponto () é muito distante do centro do polinômio, então não seria razoável, teria um erro grande associado.