Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 6
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Show de bola, galera! Nessa questão precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.Perceba que se trata de uma série de potência, ou seja, há uma variável que pode tomar algum valor arbitrário. Percebeu o bizu ?Então queremos encontrar para quais valores de essa série converge.
Perceba que temos: . Que é um elemento elevado a . Isso nos indica que é faz bastante sentido tentar utilizar o teste da razão.
Passo 2
E o que é o teste da razão?Ora meu amigo, nada mais é que um teste utilizado para determinar a convergência de uma série.
É necessário que tu saibas isso sobre o teste da razão:
Uma série qualquer chamada de , será convergente se:
Será divergente se:
E caso
Então o teste não é conclusivo.
Agora que já pegamos o pulo do gato.
Vamos colocar a mão na massa?!
Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.
Temos que
Então, fazemos
Passo 3
Assim,
Perceba que podemos “eliminar” os termos que são responsáveis apenas com a mudança de sinal, pois estamos interessados apenas no valor absoluto. Por isso que está em módulo.
Dividindo o termo quadrático por em cima e embaixo:
Pela definição do teste da razão, é exigido que o limite encontrado seja , para que a série seja convergente.
Então:
Passo 4
Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência .
Mas agora precisamos calcular como a série se comporta nos extremos. Para depois disso podermos definir o intervalo.Veja:
Quando , temos a série:
Por ser uma série alternada, iremos utilizar o teste de séries alternadas:
Para isso, utilizaremos uma série associada, que conterá apenas os valores positivos da série a ser analisada. Sendo assim:
O método da série alternada diz que a série será convergente se cumprir dois critérios.
- Ser decrescente.
Podemos perceber que
É decrescente pois o denominador cresce mais rapidamente que o numerador quando tende ao infinito.
Além disso:
Pois temos um denominador que cresce em direção ao infinito muito mais rapidamente que o numerador.
Logo, a série
converge pelo teste das séries alternadas.
Para o outro entre temos:
Passo 5
Quando , a série
Converge, uma vez que é uma p-série com .
Assim, o intervalo de convergência é