Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Olá, amigos! De boa?
A questão pede o raio e o intervalo de convergência de:
Geralmente para encontrar esse raio e esse intervalo usamos o Teste da Razão ou da Raiz.
Aqui vamos usar o Teste da Razão. No Teste da Razão, temos que:
Onde:
- a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
- a série é divergente
- o teste é inconclusivo.
Vamo que vamo!
Passo 2
Através do enunciado, vemos que:
Para precisamos substituir por :
Ao aplicar o Teste da Razão na série dada e já resolvendo a divisão de frações multiplicando a de cima pelo inverso da de baixo, temos que:
Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada abrindo os termos exponenciais com a propriedade , obtemos:
Como temos um módulo e o módulo só retorna valores positivos, esse termo pode ser desprezado:
Logo, para ser convergente precisa respeitar o que pede o Teste da Razão:
Portanto, o raio de convergência .
Passo 3
Agora devemos avaliar o intervalo de convergência. O intervalo de convergência é aquele com todos os valores de que fazem a série convergir.
Como a série converge para , se tirarmos o módulo, vamos ter os valores negativos, então a série converge para:
Vimos acima que o intervalo é , porém devemos testar a convergência nas extremidades para definir onde é aberto e onde é fechado, ou seja, se 1 e -1 estão inclusos nesse intervalo de convergência. Vamos fazer isso no passo 4.
Passo 4
Para , temos que
Conhecemos essa carinha, né? É uma série-p com que é divergente por se tratar de uma série com .
Para , temos que:
Temos uma série alternada. Podemos aplicar o Teste da Série Alternada no próximo passo.
Passo 5
Teste da Série Alternada. Teremos:
- para todo ( é decrescente).
Verdadeiro, já que o número de maior denominador será menor que o número de menor denominador.
Verdadeiro.
Como a série cumpre (i) e (ii), é convergente pelo Teste da Série Alternada.
Passo 6
Portanto o intervalo de convergência é:
Já que não inclui , mas inclui .