Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 11
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Show de bola, galera! Nessa questão precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.Perceba que se trata de uma série de potência, ou seja, há uma variável que pode tomar algum valor arbitrário. Então queremos encontrar para quais valores de essa série converge.
Perceba que temos: . Que é um elemento elevado a . Isso nos indica que é faz bastante sentido tentar utilizar o teste da razão.
Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.
Vamos recordar o que diz o teste da razão:
Uma série qualquer, chamada de , será convergente se:
Será divergente se:
Caso
Então o teste não é conclusivo.
Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências.
Temos que
Então, fazemos
Passo 2
Assim,
Como o teste da razão diz que o limite tem que ser .Temos:
Passo 3
Pelo teste da razão, a série
Converge quando
Passo 4
Então, o raio de convergência
Agora vamos verificar os pontos de extremidade, ou seja,
Quando
Assim temos:
O teste da série alternada diz que a série converge se:
- For decrescente. (Desconsiderando as alterações de sinal)
- Se o limite .
Vamos testar a primeira condição:
Ou seja: é decrescente.
Além disso vamos calcular o limite:
Então a série converge pelo teste das séries alternadas.
Quando
A série é:
Essa é uma p-série, com
Lembre-se que sempre que em séries do tipo:
A série é convergente.
Então, o intervalo de convergência é: