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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 3

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n  

Passo 1

Através do enunciado, vemos que

a n = - 1 n n x n

No Teste da Razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

onde

L < 1 ,         a   s é r i e   é   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e L > 1 ,           a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e L = 1 ,           n ã o   s e   p o d e   t i r a r   c o n c l u s õ e s

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 ( n + 1 ) x n + 1 - 1 n n x n

Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada, obtemos

lim n → ∞ ⁡ - 1 n ( - 1 ) ( n + 1 ) x n x - 1 n n x n = lim n → ∞ ⁡ ( - 1 ) ( n + 1 ) x n

Colocando a constante | - 1 | para fora do limite, obtemos

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) x n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n x = | x |

Logo, para ser convergente

L = | x | < 1

Portanto, o raio de convergência R = 1 .

Passo 2

Agora devemos avaliar o intervalo de convergência.

Sabemos que o intervalo é ( - 1 ,   1 ) , porém devemos testar a convergência nas extreminades para definir onde é aberto e onde é fechado.

Para x = - 1 , temos que

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ( - 1 ) n = ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n n  

que é divergente pelo Teste da Divergência.

Para x = 1 , temos que

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ( 1 ) n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n

que também é divergente pelo Teste da Divergência.

Portanto o intervalo de convergência é

( - 1,1 )

Resposta

R = 1

( - 1,1 )

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