Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 9

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

E aí, pessoal! Como estão?

A questão basicamente quer que a gente chegue nos valores de para quais a série abaixo converge:

Quando temos essa missão, dois tipos de testes ajudam muito: o Teste da Raiz e o Teste da Razão. Aqui vamos usar o Teste da razão. Lembra desse Teste? calculamos o limite:

Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para )e se o teste é inconclusivo.

Já te adianto que lá pro final do nosso processo vamos precisar de alguns conceitos que seria legal a gente já retomar aqui:

Para a série-p, temos:

É convergente se e é divergente se .

Teste da Série Alternada:

Se a série acima satisfaz as condições: (i) para todo (traduzindo: é decrescente) e (ii) , a série converge.

Bora lá?!

Passo 2

Através do enunciado, vemos que:

Daí já encontramos , fazendo :

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada e já escrevendo a divisão de frações como a multiplicação da fração de cima pelo inverso da fração de baixo, temos que:

Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada com a propriedade e cortando os termos iguais, obtemos:

Colocando em evidência, obtemos:

Devido ao Teste da Razão, para a série convergir, temos que . Para que essa condição seja satisfeita, temos que

Logo, .

Portanto, o raio de convergência .

Passo 3

Agora devemos avaliar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para valores tais que:

Tirando do módulo teremos também os valores iguais aos positivos, mas com sinal trocado:

Para determinar se os extremos e estão inclusos nesse intervalo de convergência, precisamos verificar a convergência nessas extremidades. Vamos fazer isso no próximo passo.