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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 37

Nos Exercícios 37-40, encontre o raio de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ n ! 3 * 6 * 9 * … * 3 n x n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Aplicando esse conceito à série em questão, temos que:

l i m n → ∞ n + 1 ! x n + 1 3 * 6 * 9 * … * 3 n ( 3 n + 1 ) * 3 * 6 * 9 * … * 3 n n ! x n < 1

Passo 2

Desenvolvendo matematicamente essa expressão, chegamos em:

| x | lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 ( n + 1 ) < 1

Logo podemos trabalhar com a inequação:

x 3 < 1

Passo 3

Desenvolvendo essa inequação:

x < 3

Logo:

R = 3

Resposta

R = 3

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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x n n + 1