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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 29

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ x n n ( ln ⁡ n ) 2

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Ou:

l i m n → ∞ x n + 1 n + 1 ln ⁡ n + 1 2 * n ( ln ⁡ n ) 2 x n < 1

Desenvolvendo matematicamente, chegamos em:

x lim n → ∞ ⁡ n + 1 n 2 < 1

Ou seja:

| x | < 1

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

- 1 < x < 1

Logo, quando x = - 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ( ln ⁡ n ) 2 → s é r i e   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e  

E quando x = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n ( ln ⁡ n ) 2 → s é r i e   c o n v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é

    2. - 1 ≤ x ≤ 1

  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 1 ≤ x ≤ 1

  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é

    2. - 1 ≤ x ≤ 1

  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 1 ≤ x ≤ 1

  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

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