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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 10

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ ( x - 1 ) n n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( x - 1 ) n + 1 n + 1 * n ( x - 1 ) n < 1

Ou:

| x - 1 | ( lim n → ∞ ⁡ n n + 1 ) < 1

Passo 2

Que resulta no seguinte intervalo:

- 1 < x - 1 < 1  

Ou:

0 < x < 2

Logo, quando x = 0 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 1 / 2 → s é r i e   c o n d i c i o n a l m e n t e   c o n v e r g e n t e  

E quando x = 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 / 2 → s é r i e   d i v e r g e n t e  

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1, enquanto o intervalo é 0 ≤ x ≤ 2   .
  2. O intervalo de convergência absoluta é 0 ≤ x ≤ 2  
  3. A série converge condicionalmente quando x = 0 .

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1, enquanto o intervalo é 0 ≤ x ≤ 2   .
  2. O intervalo de convergência absoluta é 0 ≤ x ≤ 2  
  3. A série converge condicionalmente quando x = 0 .

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