Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

Sendo a série a ser calculada:

Assim temos:

E também:

Calculando:

Veja que podemos simplificar os termos que apenas influenciam na mudança de sinal da série, além disso podemos “cortar” os elementos que se repetem no numerador e denominador.

Simplificando.

Agora,

Portanto, a série será convergente se . Consequentemente, o raio de convergência é 2.

Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando e , isto é, testar os extremos do nosso intervalo! Quando , temos a seguinte série:

Essa é uma p-série em que , guarde bem essa informação, Série do tipo:

Só convergem quando .

Como esta série não converge, a série da questão não converge quando .

Já quando , temos:

Temos que testar a convergência dessa série, vemos que essa é uma série alternada, pois cada um de seus termos terá um sinal, o que significa que faz sentido utilizarmos o teste das séries alternadas. Veja:

teste da série alternada indica que uma série será convergente se uma série que contenham apenas os valores absolutos de seus termos atender duas condições.

1. A primeira delas é a série deve ser decrescente (considerando apenas os valores absolutos da série).
2. O limite da série formada pelos valores absolutos deve ser 0

Para a nossa série

A série absoluta associada será:

Podemos perceber que conforme o denominador da série aumenta enquanto o numerador permanece constante. O que significa que é uma série decrescente. Além disso devemos calcular o seguinte limite:

Portanto esta série converge. A partir do teste da série alternada, checamos que a e que . Portanto, a série converge para .

Logo, o intervalo de convergência é: