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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 19

Utilize um sistema de computação algébrica para determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região D e tem a densidade dada.

D = x ,   y 0 ≤ y ≤ s e n   x   ,   0 ≤ x ≤ π }   ;                     ρ ( x ,   y ) = x y

Passo 1

Galera, pra determinar cada uma dessas coisas, vamos montar suas respectivas integrais, e então usar um sistema de computação algébrica pra calcular pra gente essas integrais, beleza?

m = ∬ D   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π ∫ 0 s e n   x x y   d y   d x = π 2 8

x - = 1 m ∬ D   x   ρ x ,   y   d A = 8 π 2 ∫ 0 π ∫ 0 s e n   x x 2 y   d y   d x = 2 π 3 - 1 π

y - = 1 m ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = 8 π 2 ∫ 0 π ∫ 0 s e n   x x y 2   d y   d x = 16 9 π

Então o centro de massa vai ser:

x ,   - y - = 2 π 3 - 1 π , 16 9 π

Passo 2

Show! Agora vamos calcular os momentos de inércia:

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π ∫ 0 s e n   x x y 3   d y   d x = 3 π 2 64

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π ∫ 0 s e n   x x 3 y   d y   d x = π 2 16 π 2 - 3

I 0 = I x + I y = π 2 64 ( 4 π 2 - 9 )

Resposta

m = π 2 8

x ,   - y - = 2 π 3 - 1 π , 16 9 π

I x = 3 π 2 64

I y = π 2 16 π 2 - 3

I 0 = π 2 64 ( 4 π 2 - 9 )

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