Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 37
Uma função é definida por
isto é, seus coeficientes são e para todo . Ache o intervalo de convergência e encontre uma fórmula explícita para .
Passo 1
Fala pessoal! Tudo show?
A questão nos deu uma função
Nos mostrou quem são seus coeficientes, e quer que a gente encontre o intervalo de convergência da função, além de pedir pra gente encontrar uma fórmula melhor que defina essa função.
Você consegue perceber os coeficientes revezam entre e ? Por causa disso, vamos separar a função em duas, de acordo com os coeficientes. Nossa função fica assim:
E agora a gente consegue ver padrões mais claros e escrevê-las em formato de séries:
Se você reparar bem, essas duas séries tem esse formato aqui das séries geométricas:
As séries geométricas convergem se e divergem se . Sua soma é dada por:
Vamos então avaliar cada uma delas!
Passo 2
Pra comparar nossa primeira séria com a forma geral da série geométrica, vamos ter que reescrevê-la:
Achamos que:
Fazendo a mesma coisa pra segunda série:
O primeiro termo e a razão são:
Como ambas tem a mesma razão, podemos fazer a mesma análise de convergência. Queremos que:
Sendo assim, a série resultante da soma dessas também terá o mesmo intervalo de convergência:
Passo 3
Agora bora encontrar uma fórmula explícita pra ?
Vamos continuar usando aquelas séries:
Relembrando que pras séries geométricas, podemos escrever suas somas a partir do primeiro termo e razão:
Para nossa primeira série, temos que nosso e nossa razão . Assim,
Já para nossa segunda série, e :
Então, agora é só substituir na nossa soma de séries e a fórmula fica assim:
Logo,