Uma função f é definida por

f(x) = 1 + 2x + x^2 + 2x^3 + x^4 + ...

isto é, seus coeficientes são c_{2n} = 1 e c_{2n+1} = 2 para todo n >= 0 . Ache o intervalo de convergência e encontre uma fórmula explícita para f(x) .

Passo 1

Fala pessoal! Tudo show?

A questão nos deu uma função

f x = f x = 1 + 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 + …

Nos mostrou quem são seus coeficientes, e quer que a gente encontre o intervalo de convergência da função, além de pedir pra gente encontrar uma fórmula melhor que defina essa função.

Você consegue perceber os coeficientes revezam entre 1 e 2 ? Por causa disso, vamos separar a função em duas, de acordo com os coeficientes. Nossa função f x fica assim:

f x = 1 + x 2 + x 4 + … + 2 x + x 3 + x 5 + …

E agora a gente consegue ver padrões mais claros e escrevê-las em formato de séries:

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 2 ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1

Se você reparar bem, essas duas séries tem esse formato aqui das séries geométricas:

∑ n = 0 ∞ a 1 q n

As séries geométricas convergem se 0 < q < 1 e divergem se q > 1 . Sua soma é dada por:

∑ n = 0 ∞ a 1 q n = a 1 1 - q

Vamos então avaliar cada uma delas!

Passo 2

Pra comparar nossa primeira séria com a forma geral da série geométrica, vamos ter que reescrevê-la:

∑ n = 0 ∞ x 2 n = ∑ n = 0 ∞ x 2 n = ∑ n = 0 ∞ a q n

Achamos que:

a 1 = 1

q = x 2

Fazendo a mesma coisa pra segunda série:

∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ x x 2 n = ∑ n = 0 ∞ a q n

O primeiro termo e a razão são:

a 1 = x

q = x 2

Como ambas tem a mesma razão, podemos fazer a mesma análise de convergência. Queremos que:

q = x 2 < 1

x < 1

Sendo assim, a série resultante da soma dessas também terá o mesmo intervalo de convergência:

- 1 ,   1

Passo 3

Agora bora encontrar uma fórmula explícita pra f x ?

Vamos continuar usando aquelas séries:

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 2 ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1

Relembrando que pras séries geométricas, podemos escrever suas somas a partir do primeiro termo e razão:

∑ n = 0 ∞ a 1 q n = a 1 1 - q

Para nossa primeira série, temos que nosso a 1 = 1 e nossa razão q = x 2 . Assim,

∑ n = 0 ∞ x 2 n = a 1 1 - q = 1 1 - x 2

Já para nossa segunda série, a 1 = x e q = x 2 :

∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 = x 1 - x 2

Então, agora é só substituir na nossa soma de séries e a fórmula fica assim:

f x = 1 1 - x 2 + 2   ×   x 1 - x 2

Logo,

f x = 1 + 2 x 1 - x 2

Resposta

- 1 ,   1

f x = 1 + 2 x 1 - x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados