Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 26

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 x + 3 n n ln ⁡ n

Passo 1

E aí explorador matemático! Pronto para mergulhar nessa série? Vamos lá!

Para solucionarmos esse problema, vamos começar encontrando o raio de convergência e depois determinaremos o intervalo de convergência. Tudo bem?

Para obtermos o raio de convergência, valor para o qual a série converge absolutamente, e o intervalo de convergência da série, usaremos o Teste da Razão. Este teste nos ajudará a determinar os valores de x para os quais a série converge. Ele nos diz que, se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L < 1

Então a série ∑ a n é convergente.

Passo 2

Vamos checar se isto é verdade para a nossa função! Calculando o termo do limite inicialmente, temos:

a n + 1 a n = - 1 n + 1 ⋅ 2 x + 3 n + 1 n + 1 ln ⁡ n + 1 ⋅ n ⋅ ln ⁡ n - 1 n 2 x + 3 n

( 2 x + 3 ) 1 + 1 n ⋅ ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n

Agora,

lim n → ∞ ⁡ ( 2 x + 3 ) 1 + 1 n ⋅ ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n = 2 x + 3 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n ⋅ ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n

2 x + 3 1 ⋅ 1 = 2 x + 3 < 1

Portanto, a série será convergente se - 2 < x < - 1 . Consequentemente, o raio de convergência é 1/2.

Passo 3

Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando x = - 2 e x = - 1 , isto é, testar os extremos do nosso intervalo! Quando x = - 2 , temos a seguinte série:

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

Esta série diverge. Basta checar através do teste da integral!

Já quando x = - 1 , temos:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n

Já esta série converge. A partir do teste da série alternada, checamos que a b n + 1 ≤ b n e que lim n → ∞ ⁡ b n = 0 . Portanto, a série converge para x = - 1 ! Logo, o intervalo de convergência é:

- 2 < x ≤ - 1

Resposta

Raio de convergência é 1/2. O intervalo de convergência é - 2 < x ≤ - 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 1 ∞ n ! x n 1.3.5 … ( 2 n - 1 )
O fato de ∑ n = 0 ∞ c n 4 n ser convergente implica que as séries a seguir são convergentes?(b) ∑ n = 0 ∞ c n - 4 n
Se f x = ∑ n = 0 ∞ c n x n , onde c n + 4 = c n para todo n ≥ 0 , encontre o intervalo de convergência da série e uma fórmula para f x .
41. Suponha que a série ∑ c n x n tenha raio de convergência 2 e que a série ∑ d n x n tenha raio de convergência 3 . O que você pode dizer sobre o raio de convergência da série ∑ ( c n + d n ) x n ?
Suponha que ∑ n = 0 ∞ c n x n converge quando x = - 4 e diverge quando x = 6 . O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?(c) ∑ n = 0 ∞ c n - 3 n