Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 41
41.
Suponha que a série tenha raio de convergência e que a série tenha raio de convergência . O que você pode dizer sobre o raio de convergência da série ?
Passo 1
Fala, gente bonita! Tudo show?
Vamos entender melhor o que a questão tá pedindo pra gente:
tem raio de convergência .
Já a série tem raio de convergência .
Ele tá perguntando pra gente qual vai ser o novo raio de convergência quando fizermos a soma dessas séries, ou seja, .
Pessoal, a primeira série tem raio de convergência . Então vamos entender assim:
A convergência está nesse intervalo, beleza?
Já a segunda série tem raio de convergência . Vamos entender assim:
A convergência está nesse intervalo, tranquilo?
Se estamos somando as duas, vamos entender nessa imagem que:
Também terá o mesmo raio de convergência de , ou seja, .
É o que a questão quer.
Passo 2
Vamos pensar um pouco mais além?
Quando , uma das séries converge e a outra diverge. Mas lembre-se que a soma de uma série divergente e uma série convergente dá uma série divergente, pois é como se estivéssemos somando um número finito a um número infinito.
Então, para , a série diverge!
No entanto, para , ambas as séries convergem, então a série resultante também vai convergir nesse intervalo. Assim, o raio de convergência da série vai ser , beleza?