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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 38

Se f x = ∑ n = 0 ∞ c n x n , onde c n + 4 = c n para todo n ≥ 0 , encontre o intervalo de convergência da série e uma fórmula para f x .

Passo 1

Oi, oi, pessoal. Tudo joia?

A questão nos deu uma função em formato de série ∑ n = 0 ∞ c n x n e diz que c n = c n + 4 . Com isso, ele quer que a gente descubra o intervalo de convergência e uma fórmula para essa função.

Pessoal, se temos uma série onde c n + 4 = c n , podemos escrevê-la assim:

∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 0 x 4 + c 1 x 5 + c 2 x 6 + c 3 x 7 + c 0 x 8 + …

Perceba que isso vai se repetir por toda a série, então vamos agrupar por coeficiente:

∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 1 + x 4 + x 8 + … + c 1 x + x 5 + x 9 + … + c 2 x 2 + x 6 + x 10 + … + c 3 ( x 3 + x 7 + x 11 + … )

Passo 2

Agora olha a mágica acontecendo!

∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 1 + x 4 + x 8 + … + c 1 x 1 + x 4 + x 8 + … + c 2 x 2 1 + x 4 + x 8 + … + c 3 x 3 ( 1 + x 4 + x 8 + … )

Vou colocar nossos c ' s em evidência, ou seja, nossos termos em comum:

∑ n = 0 ∞ c n x n = ( c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) ( 1 + x 4 + x 8 + … )

A partir disso, podemos colocar nossos termos do segundo parênteses acima como nosso somatório. Percebe que o expoente vai dobrando? Então seria nosso:

∑ n = 0 ∞ c n x n = ( c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) ∑ n = 0 ∞ x 4 n

Epa! Esse somatório nos parece essa daqui:

∑ n = 0 ∞ x n

Que é uma série geométrica! E seu intervalo de convergência é - 1,1 .

Logo, como a série ∑ n = 0 ∞ x 4 n é uma série geométrica, que possui um intervalo de convergência - 1 ,   1 , a nossa série ∑ n = 0 ∞ c n x n também vai ter intervalo de convergência - 1 ,   1 , tá beleza?

Passo 3

Finalmente, podemos escrever uma fórmula explícita para f ( x ) , utilizando a soma da série geométrica:

f x = ∑ n = 0 ∞ c n x n = ( c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) ∑ n = 0 ∞ x 4 n

Quando representamos uma série geométrica em função, ela tem essa cara aqui, ó:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

Logo, como a nossa série geométrica tem x 4 :

f x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 1 1 - x 4

Resposta

( - 1 ,   1 )

f x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 1 - x 4

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