Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 28
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
E aí, pessoal? Como vocês estão?
A questão pede pra gente encontrar o intervalo de convergência e raio de convergência da série:
O intervalo de convergência nada mais é que o conjunto de valores para nos quais a série converge.
Um método indicado para acharmos esses valores é o Teste da Razão, principalmente para séries onde temos termos exponenciais (como por exemplo, aqui no nosso caso: e termos exponenciais ( e já que esse teste tem uma divisão de frações que simplifica bastante nossa série, eliminando termos.
O Teste da Razão funciona assim: calculamos esse limite e analisamos seu resultado, que aqui chamamos de . Se , a série converge, se ou , a série é divergente.
Para analisar a convergência da série nos extremos do intervalo de convergência vamos usar o Teste da Divergência. Retomando aqui com vocês: Sabemos que a série diverge se ou não existir.
Vamo pro passo a passo!
Passo 2
Vamos começar definindo :
E também:
Pessoal, pra encontrar o raio de convergência, temos que aplicar o Teste da Razão. Multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda:
Simplificamos os termos que estão se dividindo:
Por fim, resolvendo o limite:
Passo 3
Assim, pra haver convergência, temos que ter:
Ou seja:
Ou seja, o raio de convergência é , e temos pelo menos no intervalo de convergência.
Passo 4
Agora bora testar os extremos do intervalo? Será que a série é convergente pra ? A série ficaria assim:
Vamos tentar o Teste para Divergência:
Abrindo o termo fatorial e o exponencial:
Simplificando, ficaremos com:
Perceba que esse limite nunca vai ser , então, pelo Teste para Divergência, não pode fazer parte do intervalo de convergência. E, quanto a , o limite anterior apenas seria multiplicado por , o que também não resultaria num limite nulo. Então, somente para a série é convergente.