Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 7
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Fala, galerinha boa! Como estão?
A questão basicamente quer que a gente chegue nos valores de para quais a série abaixo converge:
Quando temos essa missão, dois tipos de testes ajudam muito: o Teste da Raiz e o Teste da Razão. Aqui vamos usar o Teste da razão. Fica uma dica pra gente: quando uma série traz um fator fatorial é legal que a gente use o Teste da Razão, pois a divisão que ele traz faz com que esse tipo de termo suma e facilite nossa vida.
Lembra desse Teste? calculamos o limite:
Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para )e se o teste é inconclusivo.
Vamo lá!
Passo 2
Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências.
Temos:
E com , temos:
Escrevemos então:
Multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda e abrindo os termos com a propriedade da potenciação . Também já vamos aproveitar para cancelar termos iguais que se dividem:
Partiu então calcular o seguinte limite. Note que tivemos que manter o dentro do módulo, já que será sempre valores positivos, mas não sabemos sobre .
Isso é verdade para todo .
Passo 3
Opa! Nosso limite deu zero para qualquer valor de .
Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para todo e qualquer . Nosso raio de convergência será então e nosso intervalo de convergência será