Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 8
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, pessoal? Vamos utilizar a definição da transformação de uma função em série geométrica para resolver esse exercício. A partir disso teremos que encontrar o raio de convergência da série de potência encontrada. Como já sabemos que será uma série geométrica, poderemos encontrar através da própria definição de série geométrica.
Vamos recordar como é uma função de uma série geométrica?
Então iremos operar algebricamente nossa função até torna-la parecida com isso.Vamos lá ?
Passo 2
Veja que a função:
Difere da função da definição de série geométrica, pois temos uma soma no denominador, e precisamos de uma subtração. Então faremos o seguinte
Que tal reescrever a função assim:
Veja que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo e razão , ou seja:
E isso nos dá exatamente a série de potências:
Uma outra forma de chegar à mesma conclusão é fazendo uma alteração de variável e comparando com a definição de série geométrica em que
Voltando ao valor original:
Passo 3
Show! Agora precisamos encontrar o intervalo de convergência.Sabemos a seguinte definição de séries geométricas:
Se:
Em que: se a série é convergente.
Como a razão da série geométrica é , temos que ter, pra série convergir:
Ou seja, o intervalo de convergência é .