Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.9 - Ex. 10
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
E ai pessoal, tudo bem? Bora lá resolver essa questão!
Vamos compreender o enunciado juntos? O problema nos forneceu uma função e pediu a sua representação em série de potências, e também que calculemos o raio de convergência associado.
E agora, como podemos iniciar? Pense comigo, ele pediu a série...vamos olhar para a função e ver se se tem alguma semelhança com alguma série. E ai? Concorda que lembra um pouco a soma de um serie geométrica infinita?
Sabendo isso, nosso objetivo organizar a função e tentar escrever como uma série. Por fim, avaliarmos a convergência de uma série, sabendo que o módulo da razão tem que ser menor que para convergir.
Bora colocar mão na massa!?
Passo 2
Agora pessoal. Que tal reescrever a função assim:
Observe que agora ficou muito parecida com a soma de uma PG:
Veja que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo e razão , ou seja:
Ou seja, olhando para a série de uma PG
Isso nos dá exatamente a série de potência:
Passo 3
Show Pessoal! Agora vamos pensar na razão.
Para a série geométrica a razão é:
Para convergir, temos que ter:
Ou seja, o intervalo de convergência é , se , ou , se .