Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.9 - Ex. 4
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
E ai turma, tudo na paz? Bora lá resolver essa questão!
Vamos compreender o enunciado juntos, beleza? O problema nos forneceu uma função e pediu a sua série de potência, e também que calculemos o raio de convergência associado.
Vish, como podemos iniciar essa?
Pense comigo, ele pediu a série de potência né!! Então vamos olhar para a função e ver se tem alguma semelhança com alguma série de potência conhecida.
Concorda que lembra um pouco a soma de uma série geométrica infinita:
Dessa forma, nosso objetivo é organizar a função f(x) e tentar escrevê-la como uma série. Depois disso, podemos avaliar a convergência da série, pois sabemos que o módulo da razão tem que ser menor que para a série convergir.
Agora ficou fácil ein, bora lá resolver juntos essa!?
Passo 2
Primeiro vamos comparar a função dada com a soma da série geométrica. Logo, temos que:
Comparando, podemos assumir que:
Agora precisamos substituir o valor de e na expressão do somatório.
E isso nos dá exatamente a série de potência:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o intervalo de convergência.
Sabendo que é uma serie geométrica, logo temos a convergência da série em .
Como a razão da série geométrica é temos que ter, pra série convergir:
Ou seja, o intervalo de convergência �� .