Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 11
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Show de bola, galera!
Para solucionarmos esse problema, vamos começar encontrando o raio de convergência e depois determinaremos o intervalo de convergência. Tudo bem?
Para obtermos o raio de convergência, valor para o qual a série converge absolutamente, e o intervalo de convergência da série, usaremos o Teste da Razão. Este teste nos ajudará a determinar os valores de x para os quais a série converge. Ele nos diz que, se:
Então a série é convergente.
Passo 2
Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências , vamos precisar calcular o seguinte limite:
Portanto,
Passo 3
Opa! Esse nosso limite vale:
Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para , ou seja, para . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência .
Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( e )? É o que vamos calcular agora.
Passo 4
Quando , ficamos com a série , uma p-série com , e, portanto, uma série divergente.
Já para , a série se torna alternada e ficamos com a série . Neste caso, podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que nos diz que está série é convergente. Isso ocorre porque os termos da série são alternadamente positivos e negativos, satisfazendo a condição de alternância.
Temos também que os termos diminuem em módulo à medida que aumenta, pois diminui à medida que aumenta. Além do limite dos termos individuais da série quando tende para o infinito ser . Logo, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.
Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por