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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 12

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ x n 5 n n 5

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 5 n + 1 n + 1 5 x n 5 n n 5 = lim n → ∞ ⁡ x n ∙ x 5 n ∙ 5 ∙ n + 1 5 ∙ 5 n n 5 x n = x 5 ∙ lim n → ∞ ⁡ n 5 n + 1 5 = x 5

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x 5 < 1 , ou seja, para x < 5 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 5 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo ( - 5 , 5 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 5 e x = 5 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = - 5 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 5 , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.

Já para x = 5 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 , uma p-série com p = 5 > 1 , e, portanto, uma série convergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = [ - 5 , 5 ]

Resposta

R = 5   e   I = [ - 5 , 5 ]

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