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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 4

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n x n n + 1

Passo 1

Show de bola, galera! Nessa questão precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.Perceba que se trata de uma série de potência, ou seja, há uma variável x que pode tomar algum valor arbitrário. Então queremos encontrar para quais valores de x essa série converge.

Perceba que temos: x n . Que é um elemento elevado a n . Isso nos indica que faz bastante sentido tentar utilizar o teste da razão.

Vamos recordar o que diz o teste da razão:

Uma série qualquer, chamada de ∑ a n , será convergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Será divergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1

Caso

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1

Então o teste não é conclusivo.

Passo 2

Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências.

∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n + 1

Assim temos:

a n + 1 = - 1 n + 1 x n + 1 n + 1 + 1

, ou seja, precisamos calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x n + 1 n + 1 + 1 - 1 n x n n + 1

Nossa, Que confusão né? Vamos fazer algumas simplificações?Repare que os elementos - 1 n e - 1 n + 1 servem apenas para mudar o sinal. Porém nós estamos interessados no módulo do limite. Ou seja, podemos “eliminá-los”.

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x n + 1 n + 1 + 1 - 1 n x n n + 1 = x n + 1   .   n + 1 n + 2 .   x n

= lim n → ∞ ⁡ x n ∙ x n + 2 ∙ n + 1 x n = x ∙ lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2

Dividindo tudo na fração por n :

x ∙ lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 1 + 2 n = x . 1 = | x |

Como o teste da razão exige que o limite encontrado seja < 1 , para que a série seja convergente.

Então:

x < 1

Passo 3

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x < 1 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo ( - 1,1 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 1 e x = 1 )? É o que vamos calcular agora.

Quando x = - 1 , ficamos com a série:

∑ n = 1 ∞ 1 n + 1

, que, pelo Teste da Integral, é uma série divergente. Veja:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 n + 1   =   l i m t → ∞ ln ⁡ n + 1 | 1 t  

l i m t → ∞ ln ⁡ t + 1 -   ln ⁡ 1 + 1 = ∞

Ou seja, Diverge.

Passo 4

Já para x = 1 , ficamos com a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 1

Percebemos que se trata de uma série alternada. Ou seja, faz bastante sentido aplicarmos o teste da série alternada.Para isso, utilizaremos uma série ∑ b n associada, que conterá apenas os valores positivos da série a ser analisada. Sendo assim:

∑ b n =   ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1

O método da série alternada diz que a série será convergente se cumprir dois critérios.

  1. Ser decrescente.
  2. lim n → ∞ ⁡ ∑ b n = 0

Podemos perceber que a série ∑ b n é decrescente, simplesmente analisando o denominado. Que aumenta com o aumento de n , sendo que o numerador permanece constante.

Além disso, podemos perceber que:

l im n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 1 ∞ = 0

Ou seja, a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 1 pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = ( - 1,1 ]

Resposta

R = 1   e   I = ( - 1,1 ]

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