Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 41

Use a série de potências para para demonstrar a seguinte expressão para como a soma de uma série infinita

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos lá!

Para demonstrar a expressão para como a soma de uma série infinita utilizando a série de potências para , precisamos encontrar um valor de que nos forneça um múltiplo fracionário de .

Vamos pensar em um ângulo que esteja na imagem de , ou seja, no intervalo . Podemos escolher, por exemplo, . Assim, teremos:

E sabemos que

Passo 2

Para começar, definimos a estratégia de usar a série de potências para substituindo . Dessa forma, temos:

Substituindo , obtemos:

Podemos racionalizar a raiz que está fora da série, mas a que está dentro não nos ajuda, na verdade, a raiz vai cancelar com o na potência dos parênteses

Essa expressão demonstra π\piπ como a soma de uma série infinita utilizando a série de potências para .

Resposta

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A função A definida por A x = 1 + x 3 2.3 + x 6 2.3.5.6 + x 9 2.3.5.6.8.9 + é denominada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).(a) Encontre o domíni

39. Mostre que, se l i m n → ∞| c n | n = c onde c ≠ 0 , então o raio de convergência da série de potências ∑ c n x n é R = 1 c .

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.

Suponha que ∑ n = 0 ∞ c n x n converge quando x = - 4 e diverge quando x = 6 . O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir? ∑ n = 0 ∞- 1 nc n 9 n