Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 41

Use a série de potências para tg - 1 ⁡ x para demonstrar a seguinte expressão para π como a soma de uma série infinita

π = 2 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 3 n

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos lá!

Para demonstrar a expressão para π como a soma de uma série infinita utilizando a série de potências para tg - 1 ⁡ x , precisamos encontrar um valor de x que nos forneça um múltiplo fracionário de π .

Vamos pensar em um ângulo α que esteja na imagem de tg - 1 ⁡ x , ou seja, no intervalo - π 2 , π 2 . Podemos escolher, por exemplo, α = π 6 . Assim, teremos:

tg - 1 ⁡ ( tg ⁡ α ) = α = π 6

E sabemos que

tg ⁡ π 6 = 3 3 = 1 3

Passo 2

Para começar, definimos a estratégia de usar a série de potências para tg - 1 ⁡ ( x ) substituindo x = tg ⁡ π 6 . Dessa forma, temos:

tg - 1 ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Substituindo x = tg ⁡ π 6 = 1 3 , obtemos:

tg - 1 ⁡ tg ⁡ π 6 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 3 2 n + 1 2 n + 1

π 6 = 1 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 3 1 / 2 2 n 2 n + 1

Podemos racionalizar a raiz que está fora da série, mas a que está dentro não nos ajuda, na verdade, a raiz vai cancelar com o 2 na potência dos parênteses

π = 6 3 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 n + 1 3 n

π = 2 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 3 n

Essa expressão demonstra π\piπ como a soma de uma série infinita utilizando a série de potências para tg - 1 ⁡ ( x ) .

Resposta

π = 2 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 3 n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A função J I definida por J I x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 é denominada função de Bessel de ordem I .(a) Encontre seu domínio.(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela
A função A definida por A x = 1 + x 3 2.3 + x 6 2.3.5.6 + x 9 2.3.5.6.8.9 + ⋯ é denominada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).(a) Encontre o domí
39. Mostre que, se l i m n → ∞| c n | n = c onde c ≠ 0 , então o raio de convergência da série de potências ∑ c n x n é R = 1 c .
Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Suponha que ∑ n = 0 ∞ c n x n converge quando x = - 4 e diverge quando x = 6 . O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir? ∑ n = 0 ∞- 1 nc n 9 n