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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 9

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 4 n x n

Passo 1

Show de bola, galera!

Para solucionarmos esse problema, vamos começar encontrando o raio de convergência e depois determinaremos o intervalo de convergência. Tudo bem?

Para obtermos o raio de convergência, valor para o qual a série converge absolutamente, e o intervalo de convergência da série, usaremos o Teste da Razão. Este teste nos ajudará a determinar os valores de x para os quais a série converge. Ele nos diz que, se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L < 1

Então a série ∑ a n é convergente.

Passo 2

Para aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências ∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 4 n x n , vamos precisar calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n + 1 4 n + 1 x n + 1 - 1 n n 4 n x n

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ∙ 4 n ∙ 4 ∙ x n ∙ x n 4 n x n

Portanto,

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ∙ 4 n ∙ 4 ∙ x n ∙ x n 4 n x n = 4 ∙ x ∙ lim n → ∞ ⁡ n + 1 n

Passo 3

Opa! Esse nosso limite vale:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 4 ∙ x ∙ lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = 4 ∙ x

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para 4 ∙ x < 1 , ou seja, x < 1 4 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 4 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo - 1 4 , 1 4 em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 1 4 e x = 1 4 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 4

Quando x = - 1 4 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ n , uma série divergente.

Já para x = 1 4 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n , uma série também divergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = - 1 4 , 1 4

Resposta

R = 1 4   e   I = - 1 4 , 1 4

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