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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 26

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 2 ∞ x 2 n n   ln ⁡ n 2

Passo 1

O problema fornece uma série dada por

∑ n = 2 ∞ a n ,

em que

a n = x 2 n n   ln ⁡ n 2

Devemos encontrar o raio de convergência. Para isso, vamos usar o teste da razão!

a n = x 2 n n   ln ⁡ n 2                 e             a n + 1 = x 2 n + 2 n + 1   ln ⁡ n + 1 2

Assim,

a n + 1 a n = x 2 n + 2 n + 1   ln ⁡ n + 1 2 ⋅ n   ln ⁡ n 2 x 2 n = x 2 ⋅ n n + 1 ⋅ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 2

Passo 2

Assim,

a n + 1 a n = x 2 ⋅ n n + 1 ⋅ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 2 = x 2 ⋅ n n + 1 ⋅ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 2

Tomando o limite com n → ∞ , temos que

n n + 1 → 1             e           ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 → 1

Assim,

a n + 1 a n → x 2

Para que a série convirja, devemos ter

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Assim,

x 2 < 1 ⇒ x < 1

Portanto, o raio de convergência é

R = 1

Passo 3

Sabemos que para - 1 < x < 1 a serie converge e para x > 1 e x < - 1   ela diverge, mas ainda não sabemos o que ocorre em x = ± 1 . Tanto para x = - 1 como para x = 1 , temos que

∑ n = 2 ∞ x 2 n n   ln ⁡ n 2 = ∑ n = 2 ∞ ( ± 1 ) 2 n n   ln ⁡ n 2 = ∑ n = 2 ∞ 1 n   ln ⁡ n 2

Para analisar a convergência dessa série, vamos usar o teste da integral:

I = ∫ 2 ∞ 1 x   ln ⁡ x 2 d x

Para isso, vamos calcular a integral

∫ 2 t 1 x   ln ⁡ x 2 d x

Fazendo a substituição u = ln ⁡ x , segue que d u = d x / x :

∫ 2 t 1 x   ln ⁡ x 2 d x = ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ t 1 u 2 d u = - 1 u ln ⁡ 2 ln ⁡ t = 1 ln ⁡ 2 - 1 ln ⁡ t

Portanto,

I = lim t → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 2 - 1 ln ⁡ t = 1 ln ⁡ 2

Como a integral converge, pelo teste da integral a série converge! Assim, a série é convergente também nos extremos do intervalo x = ± 1 . Portanto, o intervalo de convergência é

[ - 1 ,   1 ]

Resposta

R = 1

[ - 1 ,   1 ]

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