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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 16

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1

Passo 1

Boa tarde meu amigo!

Temos uma série que é classificada com uma série de potencias. Como eu sei disso? Repare que há uma variável x na série. Isso indica que essa série pode convergir ou divergir a depender do valor adotado para x . E é justamente isso que queremos encontrar, através do raio e do intervalo de convergência iremos dizer quais os valores de x fazem a série ser convergente.

Então iremos aplicar algum método de teste de convergência nessa série e substitui os valores de x   para os valores que satisfazem as condições de convergência. Perceba que temos uma série que possui um elemento elevado a n . Isso significa que utilizar o teste da razão é bastante interessante. (Perceba para a maioria das séries de potência será mais conveniente utilizar o teste da razão, algumas séries poderão ser utilizadas o teste da raiz. Mas apenas quando todo o conjunto da série tiver uma potência de n , tipo ∑ b n n )

Vamos recordar o que diz o teste da razão?

Uma série qualquer, chamada de ∑ a n , será convergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Será divergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1

Caso

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1

Então o teste não é conclusivo.

Passo 2

Agora que tudo ficou muito claro. Podemos colocar a mão na massa?!

Nossa serie é:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1

Logo:

a n =   - 1 n x - 3 n 2 n + 1  

E a n + 1   =   - 1 n + 1 x - 3 n + 1 2 ( n + 1 ) + 1  

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x - 3 n + 1 2 n + 1 + 1   . 2 n + 1 - 1 n   .   x - 3 n    

Perceba que os termos - 1 n e - 1 n + 1   foram “eliminados” por causa do módulo. Então termos que apenas afetam o sinal não fazem impacto no resultado.

= lim n → ∞ ⁡ ( x - 3 ) n ∙ ( x - 3 ) 2 n + 3 ∙ 2 n + 1 x - 3 n

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( x - 3 ) 2 n + 3 ∙ 2 n + 1 = x - 3 ∙ lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n + 3 = x - 3   .   1  

Vamos recordar que a série só é absolutamente convergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Ou seja:

x - 3 < 1

Passo 3

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x - 3 < 1 .

Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que

x - 3 < 1

, ou seja, - 1 < x - 3 < 1

2 < x < 4

.... Portanto, convergirá para o intervalo ( 2,4 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = 2 e x = 4 )?

É o que vamos calcular agora.

Passo 4

Quando x = 2 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1

Veja que eu posso utilizar o teste da integral para avaliar essa série. Uma vez que será uma integral de fácil solução. Veja:

A função associada será:

f x = 1 2 x + 1

Logo temos que saber se:

∫ 0 ∞ 1 2 x + 1 d x

Converge ou não. O teste da integral associa a convergência da integral com a convergência da série. Então vamos resolver a integral imprópria.

∫ 0 ∞ 1 2 x + 1 d x =   lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t 1 2 x + 1 d x

lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ ( 2 t + 1 ) - ln ⁡ 0 + 1 = ln ⁡ ∞ + 0 = ∞

Vemos que, pelo Teste da Integral, é uma série divergente.

Passo 5

Já para x = 4 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1

Que é uma série alternada. Podemos utilizar o teste da série alternada: Que diz que a série for convergente se uma série b n associada contendo apenas seus termos positivos for decrescente, e se seu limite → 0 .

Podemos perceber que a série associada será:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1

Que claramente é decrescente, pois o denominador aumenta com n → ∞ enquanto o numerador permanece constante. E pelo mesmo motivo podemos afirmar que:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 = 0

Então, pelo Teste da Série Alternada,

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 é uma série convergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = ( 2,4 ] .

Resposta

R = 1   e   I = ( 2,4 ]

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