Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 6
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Fala, galerinha! Cês tão bem?
A questão pede pra gente encontrar o intervalo de convergência e raio de convergência da série:
O intervalo de convergência nada mais é que o conjunto de valores para nos quais a série converge.
Um método indicado para acharmos esses valores é o Teste da Razão, principalmente para séries onde temos termos exponenciais (como por exemplo, aqui no nosso caso: ) e já que esse teste tem uma divisão de frações que simplifica bastante nossa série, eliminando termos.
O Teste da Razão funciona assim: calculamos esse limite e analisamos seu resultado, que aqui chamamos de . Se , a série converge, se ou , a série é divergente.
Para analisar a convergência da série nos extremos do intervalo de convergência vamos usar o Teste da Divergência. Retomando aqui com vocês: Sabemos que a série diverge se ou não existir.
Bora ver como fica isso!
Passo 2
Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências.
Temos:
E para :
Partiu então calcular o seguinte limite:
Abrindo a soma de expoentes usar a propriedade: , já aproveitamos também para simplificar termos:
Por fim, calculamos o limite:
Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência .
Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( e )? É o que vamos calcular agora.
Passo 3
Quando , ficamos com a série
Pelo Teste da Divergência:
Portanto, é uma série divergente.
Já para , ficamos com a série
Pelo Teste da Divergência:
outra série divergente.
Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por