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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 9

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 x n 2 n

Passo 1

Show de bola, galera! Nessa questão precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de uma série de potência. Ou seja, queremos saber para quais valores de x essa série converge. Para isso precisamos encontrar o raio de convergência utilizando algum método adequado.

Essa série possui um elemento elevado a n . O que indica que o teste da razão é uma opção muito razoável.

E o que é o teste da razão?!

É um teste que diz o seguinte sobre as séries:

Uma série qualquer, chamada de ∑ a n , será convergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Será divergente se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1

Caso

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1

Então o teste não é conclusivo.

Agora que tudo ficou muito claro. Podemos colocar a mão na massa?!

Passo 2

Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.

Temos que

a n = - 1 n n 2 x n 2 n

Então, fazemos

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) 2 x n + 1 2 n + 1

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 x n + 1 2 n + 1 ⋅ 2 n n 2 x n

Repare que os termos - 1 n e - 1 n + 1 foram eliminados, pois só estamos interessados nos valores absolutos(positivos).

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 x n + 1 2 n + 1 ⋅ 2 n n 2 x n =   lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 x n . x 2 n . 2 ⋅ 2 n n 2 x n

= lim n → ∞ ⁡ x n + 1 2 2 n 2 = lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 1 n 2  

lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 1 n 2   = lim n → ∞ ⁡ x 2 1 + 1 n 2  

l i m n → ∞ x 2 1 + 1 n 2   = | x | 2 ⋅ 1 + 0 2 = 1 2 | x |

Passo 3

Pela definição do teste da razão, a série converge se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Ou seja,

1 2 x < 1

x < 2

Então, o raio de convergência é

R = 2

Passo 4

Agora vamos verificar os pontos de extremidade, ou seja,

x = ± 2

Ambas séries

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 ( ± 2 ) n 2 n = ∑ n = 1 ∞ ∓ 1 n n 2

Divergem pelo teste da divergência, uma vez que

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ | ∓ 1 n n 2 | = ∞

Então, o intervalo de convergência é:

I = ( - 2,2 )

Resposta

R = 2

I = ( - 2,2 )

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