Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.9 - Ex. 6
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Faaaaala turminha, tudo bem? Bora lá!
Bom, vamos entender o enunciado juntos? O problema nos forneceu uma função e pediu a sua representação em série de potência, e também que calculemos o raio de convergência associado.
Como podemos iniciar? Pense comigo, ele pediu a série...vamos olhar para a função e ver se se tem alguma semelhança com alguma série que a gente possa reconhecer. E ai? Concorda que lembra um pouco a soma de um serie geométrica infinita?
Assim, nosso objetivo é organizar a função e tentar escrever como uma série. Por fim, avaliarmos a convergência de uma série, sabendo que o módulo da razão tem que ser menor que para convergir.
Bora iniciar!?
Passo 2
Agora, que tal reescrever a função assim:
Observe que ficou muito parecida com a soma da série geométrica:
Agora se a gente comparar as duas expressões, a gente consegue identificar o primeiro termo e a razão da nossa função representada como série:
Então escrita termo a termo, ela fica assim:
E isso nos dá exatamente a série de potências:
Passo 3
Show ein!
Agora podemos relacionar a razão com a convergência. Bora lá!?
Sabendo que uma série geométrica converge para
Como a razão da série geométrica é , temos que ter, pra série convergir:
Ou seja, o intervalo de convergência é .