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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 2

Suponha que você saiba que a série ∑ n = 0 ∞ b n x n

converge para x < 2 . O que você pode dizer sobre a série a seguir? Por que?

∑ n = 0 ∞ b n n + 1 x n + 1

Passo 1

Bom, galera. Nós precisamos comparar duas séries, em que uma delas tem a convergência já definida. O pulo do gato dessa questão é ter o conhecimento do teorema que diz o seguinte:

Sendo: f x = c n x - a n  

∫ f x d x = C + ∑ n = 0 ∞ c n x - a n + 1 n + 1  

Feio ne? Mas esse teorema diz que nesse caso o raio de convergência de ambas as séries é o mesmo.Ou seja, é uma boa ideia testar se a série dada está nessa situação.

Passo 2

Vamos integrar a primeira série para testar:

∫ ∑ n = 0 ∞ b n x n d x

Lembrando que a integral do somatório é igual ao somatório do integral.

∫ ∑ n = 0 ∞ b n x n d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ b n x n d x

∑ n = 0 ∞ b n ∫ x n d x = ∑ n = 0 ∞ b n   x n + 1 n + 1

Simplificando temos:

∑ n = 0 ∞ b n n + 1 x n + 1

Repare que é exatamente essa a série que precisamos investigar. Ou seja:

Então, elas têm o mesmo raio de convergência, ou seja,

∑ n = 0 ∞ b n n + 1 x n + 1 converge para x < 2 .

Resposta

Série convergente quando x < 2

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